2016 Nachtermin A2: Ebene Geometrie

Die Umdrehung der Spitze des Rotorblatts beschreibt einen Kreis. Dieser hat den Mittelpunkt dort, wo die Rotorblätter befestigt sind. Eine Umdrehung entspricht somit dem Umfang des Kreises mit dem Durchmesser 164 m:
\begin{align} U &= d \cdot \pi \approx \, 515.22 \,m. \end{align}
Pro 10 Minuten macht das Rad 121 Umdrehungen, also sind es in 60 Minuten \(6 \cdot 121 = 726\) Umdrehungen. Die Strecke, die die Spitze zurücklegt, ist somit \( 726 \cdot 515.22 = 374050 \,m \). Es sind daher insgesamt 374 km.

Die Winkel zwischen den Rotorblättern sind gleich groß, daher beträgt ein Winkel \( \frac{360^\circ} 3 = 120^\circ = \alpha \). Jedes Rotorblatt ist halb so lang wie der Gesamtdurchmesser, also
\( r = \frac {164} 2 = 82 \,m\) . Die Breite \(b\) berechnet sich dann aus einem gleichschenkligen Dreieck mit den Schenkeln \( r\), der Spitze \( \alpha\) und der Basis \( b \) mit dem Cosinus-Satz:
\begin{align} b^2 &= \,r^2 + r^2 – 2\cdot r \cdot r \cdot \cos(\alpha) \\
&= \,2\cdot r^2 – 2\cdot r^2 \cdot \cos(\alpha)
\\ \implies \qquad b &= \,\sqrt{2\cdot r^2 – 2\cdot r^2 \cdot \cos(\alpha)} \\
&= \,\sqrt{2\cdot 82^2 – 2\cdot 82^2 \cdot \cos(120^\circ)} \\
&\approx \, 142 \,m \end{align}

Die Länge \(l\) bestimmt sich anschließend aus einem rechtwinkligen Dreieck, bestehend aus den Seiten \(l\), \(b\) und \(\tfrac 12 \cdot b\). Somit kann der Satz des Pythagoras angewandt werden:
\begin{align} b^2 &= \,l^2 + \left(\tfrac 12 \cdot b^2\right)
\\ \implies \qquad l &= \,\sqrt{b^2 – \tfrac 1 4 \cdot b^2}\\
&= \,\sqrt{\tfrac 34 \cdot b^2}\\
&= \,\sqrt{\tfrac 34 \cdot(142)^2}\\
&\approx \, 123 \,m \end{align}

Die Gesamthöhe setzt sich zusammen aus der Höhe des Mastes \(h_M\) und der Höhe eines Rotorblattes \(h_R = 82 \,m\), wenn es in der höchstmöglichen Position ist.
Der Schatten des Mastes ist \(s_M = 42 \,m\), der Schatten des Rotorblattes ist \(s_R = 25 \,m\). Diese verhalten sich proportional zum Mast und Rotorblatt:
\begin{align} \frac {h_M}{h_R} &= \, \frac {s_M}{s_R} \\
\implies \qquad h_M &= \, h_R \cdot \frac {s_M}{s_R }\\ &= 82 \cdot \frac{42}{25} \\ &\approx \, 138 \,m \end{align}
Die Gesamthöhe ist also \(82\, m + 138\,m = 220\,m\).