Lösung zu B3.1
Die Gleichung aufzustellen ist hier viel einfacher als sonst. Setze P in die Gleichung ein und löse nach dem einen Buchstaben auf, den du nicht kennst.
Der Punkt P(3|6) liegt auf der Parabel. Das bedeutet: Wenn du x=3 und y=6 in die Funktionsgleichung einsetzt, muss die Gleichung stimmen. So kannst du den noch unbekannten Öffnungsfaktor a berechnen.
\begin{align}
y &= ax^2+0,5x+2,25 \quad \text{mit }P(3|6)\\
6 &= a\cdot3^2+0,5\cdot3+2,25\\
6 &= 9a+1,5+2,25\\
6 &= 9a+3,75 \,\,\, |-3,75\\
2,25 &= 9a \,\,\, |:9\\
&\Rightarrow a=0,25\\
\\
p:\quad y &= 0,25x^2+0,5x+2,25 \end{align}
Für die Zeichnung trägst du die Parabel und die Gerade \(g:y=0,25x-3\) ins Koordinatensystem ein. Du kannst dazu eine Wertetabelle oder den Grafikmodus deines Taschenrechners verwenden.
Wird gerade erstellt.
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Lösung zu B3.2
Von B nach C gehst du laut Vektor immer 4 LE nach rechts und 3 LE nach oben. Das kannst du für beide Dreiecke gleich machen.
Wird gerade erstellt.
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Lösung zu B3.3
Weil die Punkte A und B dieselbe x-Koordinate haben, verläuft die Strecke \(\overline{AB}\) senkrecht. Ihre Länge erhältst du deshalb ganz einfach mit „oben minus unten“, also Parabel minus Gerade. Anschließend brauchst du die Länge des Vektos – schaue dazu einfach mal in deine Formelsammlung.
\begin{align}
|\overline{A_nB_n}|(x) &= y_A-y_B\\
&= (0,25x^2+0,5x+2,25)-(0,25x-3)\\
&= 0,25x^2+0,5x+2,25-0,25x+3\\
&\Rightarrow |\overline{A_nB_n}|(x) = (0,25x^2+0,25x+5,25)\,LE \end{align}
Jetzt zur Frage nach dem gleichschenkligen Dreieck: Wenn \(\overline{AC}\) die Basis sein soll, müssen die beiden Schenkel \(\overline{AB}\) und \(\overline{BC}\) gleich lang sein.
Die Länge \(|\overline{B_nC_n}|\) ist durch den Vektor festgelegt und damit bei jedem Dreieck gleich. Mit dem Satz des Pythagoras und den Vektorkoordinaten als Katheten ergibt sich:
\begin{align} |\overline{B_nC_n}| &= \sqrt{4^2+3^2}\\
&=5\,LE\\
\\
&\text{Bedingung für ein gleichschenkliges Dreieck:}\\
5 &= 0,25x^2+0,25x+5,25 \,\,\, |-5\\
0 &= 0,25x^2+0,25x+0,25 \\
\Rightarrow &TR \Rightarrow Menü A \Rightarrow 2 \Rightarrow 2 \\
&\text{Keine Lösung} \end{align}
Wenn die beiden blauen Strecken gleich lang wären, dann wäre das Dreieck gleichschenklig mit AC als Basis. Du sollst ausrechnen, ob es so ein Dreieck überhaupt geben kann.
Es gibt keine Lösung für diese Gleichung. Deshalb gibt es kein solches gleichschenkliges Dreieck mit der Basis \(\overline{AC}\).
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Lösung zu B3.4
Verwende \(\overline{A_nB_n}\) als Grundseite. Die Höhe kannst du am Vektor ablesen.
Den Flächeninhalt berechnest du mit 0,5 mal Grundseite mal Höhe. Hier kannst du die senkrechte Strecke \(\overline{A_nB_n}\) als Grundseite verwenden. Der Abstand von C zur Strecke \(\overline{A_nB_n}\) ist wegen des Vektors immer genau 4 LE.
Damit hängt der Flächeninhalt nur von der Länge \(|\overline{A_nB_n}|\) ab. Du musst also den kleinsten Wert dieser quadratischen Funktion bestimmen. Das geht über den Scheitelpunkt oder mit dem Taschenrechner.
\begin{align} A(x) &= \frac{1}{2}\cdot|\overline{A_nB_n}|(x)\cdot4\\
&= \frac{1}{2}\cdot(0,25x^2+0,25x+5,25)\\
&=0,5x^2+0,5x+10,5\\
\\
\Rightarrow TR \Rightarrow Menü A \Rightarrow 2 \Rightarrow 2
&\Rightarrow A_{min}=10,38\,FE \, \text{für } x=-0,5 \end{align}
Der kleinste Flächeninhalt entsteht also bei x=-0,5 und beträgt gerundet 10,38 FE.
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Lösung zu B3.5
Bei Parallelogrammen sind gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang. Der Vektor von B nach C ist (4|3). Genau denselben Vektor musst du von A nach D gehen.
Die Erklärung zur Zeichnung gibt es im Video.
Um die Koordinaten zu von D zu finden, musst du A um den Vektor verschieben. Das funktioniert als Rechnung so einfach, wie es wirkt: x-Koordinate +4, y-Koordiante +3.
\begin{align}\overrightarrow{AD} &= \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\\
A_n &= (x|0,25x^2+0,5x+2,25)\\
D_n &= (x+4|0,25x^2+0,5x+2,25+3)\\
&\Rightarrow D_n(x+4|0,25x^2+0,5x+5,25) \end{align}
Wird gerade erstellt.
