Lösung zu B1.1
Wir kennen alle drei Seitenlängen im Dreieck ABC. Einen Winkel berechnen wir also mit dem _________satz.
\begin{align}&\angle BAC \text{ im Dreieck ABC mit dem Cosinussatz:}\\
\cos(\angle BAC) &= \frac{|\overline{AB}|^2+|\overline{AC}|^2-|\overline{BC}|^2}{2\cdot|\overline{AB}|\cdot|\overline{AC}|}\\
\cos(\angle BAC) &= \frac{7^2+5^2-6^2}{2\cdot7\cdot5} \,\,\, |\cos^{-1}\\
&\Rightarrow \angle BAC = 57,12^\circ\\
\\
&|\overline{AF}| \text{ im Dreieck ACF mit dem Cosinus:}\\
\cos(\angle BAC) &= \frac{|\overline{AF}|}{|\overline{AC}|}\\
\cos(57,12^\circ) &= \frac{|\overline{AF}|}{5} \,\,\, |\cdot 5\\
|\overline{AF}| &= 5\cdot\cos(57,12^\circ)\\
&\Rightarrow |\overline{AF}| = 2,71,cm \end{align}
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Lösung zu B1.2
Weil der Halbkreis die Seite \(\overline{AC}\) im Punkt H berührt, steht der Radius \(\overline{FH}\) dort senkrecht auf \(\overline{AC}\).
Zeichne zuerst die Strecke \(\overline{FH}\) ein. Weil der Halbkreis die Seite \(\overline{AC}\) im Punkt H berührt, steht der Radius \(\overline{FH}\) dort senkrecht auf \(\overline{AC}\). Das Dreieck AFH hat deshalb bei H einen rechten Winkel.
\begin{align} &|\overline{FH}| \text{ im Dreieck AFH mit dem Sinus:}\\
\sin(\angle FAH) &= \frac{|\overline{FH}|}{|\overline{AF}|}\\
\sin(57,12^\circ) &= \frac{|\overline{FH}|}{2,71} \,\,\, |\cdot2,71\\
|\overline{FH}| &= 2,71\cdot\sin(57,12^\circ)\\
&\Rightarrow |\overline{FH}| = 2,28\,cm \end{align}
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Hier geht es zur allgemeinen Erklärung:
Lösung zu B1.3
Die gesuchte Fläche ist nicht nur ein Kreissektor! Sie setzt sich aus dem Dreieck AFH und dem Kreissektor FGH zusammen.
Zuerst brauchen wir die Winkel. Im Dreieck AFH sind bereits ein 90°-Winkel und der Winkel bei A bekannt. Die Winkel \(\angle HFA\) und \(\angle GFH\) bilden zusammen einen gestreckten Winkel von 180°. Die Skizze findest du hier im Tipp.
\begin{align} \text{Winkel berechnen:}\\
\angle HFA &= 180^\circ-90^\circ-57,12^\circ\\
&=32,88^\circ\\
\angle GFH &= 180^\circ-32,88^\circ\\
&=147,12^\circ\\
\\
&\text{Flächeninhalt des Dreiecks und des Kreissektors:}\\
A &= A_{AFH}+A_{\text{Sektor}}\\
\\
\\
A_{AFH} &= \frac{1}{2}\cdot |\overline{AF}|\cdot|\overline{FH}|\cdot\sin(\angle HFA)\\
&= \frac{1}{2}\cdot2,71\cdot2,28\cdot\sin(32,88^\circ)\\
&\Rightarrow A_{AFH} = 1,68 cm^2\\
\\
A_{\text{Sektor}} &=\frac{\angle GFH}{360^\circ}\cdot|\overline{FH}|^2\cdot\pi\\
&= \frac{147,12^\circ}{360^\circ}\cdot2,28^2\cdot\pi\\
&\Rightarrow A_{\text{Sektor}} = 6,67 cm^2\\
\\
\\
&\Rightarrow A= 1,68 + 6,67 =8,35 cm^2 \end{align}
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