2026 Haupttermin B4: Ebene Geometrie

Blanko

\begin{align}
&|\overline{ BC}| \text{ im Dreieck BCE mit dem Sinus:}\\
sin(\angle CBE) &= \frac{ |\overline{CE}|} { |\overline{ BC}|} \\
sin(60°) &= \frac{ 7} { |\overline{BC}|} \\
|\overline{BC}| &= \frac{7}{sin(60°)} = 8,08 cm \\
\\
&|\overline{ AC}| \text{ im Dreieck ABC mit dem Cosinussatz:}\\
|\overline{AC}|^2 &= |\overline{AB}|^2 + |\overline{BC}|^2 – 2 \cdot |\overline{AB}|\cdot |\overline{BC}| \cdot cos (\angle CBA) \\
|\overline{AC}|^2 &= 12^2 + 8,08^2 – 2 \cdot 12 \cdot 8,08 \cdot cos ( 60°) \,\,\, |\sqrt{}\\
&\Rightarrow |\overline{AC}| = 10,60 cm \\
\\
&\angle BAC \text{ im Dreieck AEC mit dem Sinus:}\\
sin(\angle BAC) &= \frac{ |\overline{CE}|} { |\overline{ AC}|} \\
sin(\angle BAC) &= \frac{ 7} { 10,60} \,\,\, |sin^{-1}\\
\angle BAC &= sin^{-1}(\frac{ 7} { 10,60}) = 41,33° \end{align}

Blanko

Weil als Tipp die Länge der Strecke von C zu D angegeben ist, rechne ich hier über die Trapezformel.
Die Trapezformel \( A = 0,5 \cdot (a + c) \cdot \) verlangt die Länge der Parallelen und die Höhe. Uns fehlt die kurze Parallele von C zu D.
Weil das Trapez gleichschenklig ist, kannst du von \(|\overline{AB}|\) zweimal \(|\overline{BE}|\) abziehen, um auf \(|\overline{CD}|\) zu schließen. BILD EINFÜGEN!

\begin{align}
&|\overline{ BE}| \text{ im Dreieck BCE mit dem Tangens:}\\
tan(\angle CBE) &= \frac{ |\overline{CE}|} { |\overline{ EB}|} \\
tan(60°) &= \frac{ 7} { |\overline{EB}|} \\
|\overline{EB}| &= \frac{7}{tan(60°)} = 4,04 cm \\
\\
|\overline{CD}| &= |\overline{AB}| – 2 \dot |\overline{EB}| \\
&= 12 – 2 \cdot 4,04 \\
|\overline{CD}| &= 3,92 cm \\
\\
A &= 0,5 \cdot (a + c ) \cdot h \\
&= 0,5 \cdot (12 + 3,92) \cdot 7 \\
&\Rightarrow A = 55,72 cm^2 \end{align}

Ziehe einen Kreis mit Radius \(|\overline{AC}|\) um A. Im Schnittpunkt findest du F.

Im Dreieck ABC kann du den Winkel bei C mit der Innenwinkelsumme berechnen, denn du kennst beide anderen:
\(\angle ACB = 180° – 41,33 – 60° = 78,67° \)
Weil das Dreieck aufgrund seiner Konstruktion gleichschenklig ist, gelten die 78,67° auch bei F oben.
An F ergeben sich oben und unten zusammen 180°, weil sie eine Gerade bilden.
Der Winkel bei F im Dreieck AFB ist also 180° – 78,67° = 101,33° .

Du kannst AFB auch mit dem Sinussatz berechnen, aber der Taschenrechner zeigt dann 78,67° an. Hier musst du dann selbst darauf kommen, dass du den stumpfen Winkel, also 180° – 78,67° brauchst. Diesen Rechenweg erkläre ich im Video. Schau‘ einfach mal rein!

blanko

Benutze dein Geodreieck um mit einem rechtenwinkel DG einzuzeichnen.

blanko

Zuerst musst du den Kreissektor ausrechnen, dafür brauchst du den Winkel und den Radius.
In einem Trapez ergeben Winkel an den Parallelen zusammen 180° (Ergänzungswinkel). Weil unten im Trapez 60°-Winkel sind, müssen oben also 120°-Winkel sein.
Aus der Konstruktion (Kreis berührt) weißt du, dass dort ein 90°-Winkel entsteht. Du kannst also in diesem rechtwinkligen Dreieck den Radius \(|\overline{DG}|\) ausrechnen.
Und weil es sonst zu einfach wäre, brauchen wir auch hier noch einen Zwischenschritt, nämlich den Winkel unten bei A. Dieser ergibt sich aber leicht durch 60° – 41,33° = 18,67°
\begin{align}
&|\overline{ DG}| \text{ im Dreieck AGD mit dem Sinus:}\\
sin(\angle GAD) &= \frac{ |\overline{DG}|} { |\overline{ AD}|} \\
sin(18,67°) &= \frac{ |\overline{DG}|} { 8,08} \,\,\, |\cdot 8,08\\
|\overline{DG}| &= sin(18,67) \cdot 8,08 = 2,59 cm \\
\\
A_{Sektor} &= \frac{\alpha}{360°} \cdot r^2 \cdot \pi \\
&= \frac{120°}{360°} \cdot 2,59^2 \cdot \pi \\
&= 7,02 cm^2\\
\\
p &= \frac{„Anteil“}{„Ganzes“} \cdot 100\% = \frac{7,02}{55,72} \cdot 100 \% = 12,60 \% \end{align}