2018 Nachtermin B1: Quadratische Funktionen

Es sind zwei Punkte P und Q gegeben. Du verstendest also das Vorgehen „Parabel aus zwei Punkten bestimmen“. Die Koordinaten werden ins Gleichungssystem eingesetzt und nachdem du es umgeformt hast, kannst du es mit dem GTR lösen.

\begin{align}(I) y &= 0,25x^2 + b \cdot x + c \\
&(II) y = 0,25x^2 + b \cdot x + c \\
\\
&P(-6|10) \in p \, \in (I) \, ; \, Q(4|-5) \in p \, in (II) \\
\\
(I) 10 &= 0,25 \cdot (-6)^2 + b \cdot (-6) + c \\
&(II) -5 = 0,25 \cdot 4^2 + b \cdot 4 + c \\
\\
(I) 10 & = 9 – 6b + c \, \, \,|-9 \\
&(II) -5 = 4 + 4b + c \,\,\ |-4 \\
\\
(I) 1 &= -6b +c \\
&(II) -9 = 4b + c \\
\\
\Rightarrow &GTR: b= -1 ; c = -5 \\
\\
&\Rightarrow y = 0,25x^2 -x – 5 \end{align}

Der Punkt D liegt zwei LE weiter links als die Punkte A bzw C. Also gilt für \(x_D = x – 2 \). D liegt außerdem auf der selben Höhe wie B. Also gilt \( y_D = y_B = -0,5(x+2)+1 \). Der Punkt \( D_n(x|y)\) ergibt sich zu \(D_n(x-2 | -0,5(x+2)+1)\) oder \(D_n(x-2 |-0,5x)\)

Um den Flächeninhalt der Raute (\( A_{Raute} = 0,5 \cdot e \cdot f \)) zu bestimmen, benötigst du die Länge der Diagonale \(\overline{A_n C_n} \). Weil A und C die selbe Abszisse haben, kannst du mit „oben – unten“ ansetzen.

\begin{align} &\overline{A_n C_n} \, durch \, „oben \, – \, unten“: \\ \overline{A_n C_n} &= y_{Gerade} – y_{Parabel} \\ &= -0,5x + 1 – (0,25x^2 -x – 5) \\ &= -0,25x^2 + 0,5x + 6 \\ \\ &Einsetzen \, in \, die \, Flächenformeln: \\ A_{Raute} &= 0,5 \cdot \overline{A_n C_n} \cdot \overline{BD} \\ &= 0,5 \cdot (-0,25x^2 + 0,5x + 6) \cdot 4 \\ \Rightarrow &A(x) = -0,5x^2 + x + 12 FE \end{align}

Bestimme mit dem GTR und der Formeln \( \overline{A_n C_n} = -0,25x^2 + 0,5x + 6 \) den Extremwert: \(\overline{A_0 C_0} = 6,25 LE \) für \(\). Setzte den Wert für x bei B ein:

\begin{align} B_0 (x +2 |-0,5(x+2) +1) &= B_0 (1+2 |-0,5 (1+2) +1) \\ \Rightarrow &B_0 =(3| -0,5) \end{align}

Stelle anhand der Vorgabe zur Streckenlänge von [BD] eine Gleichung auf und löse sie.

\begin{align} \overline{A_n C_n} &= 1,5 \cdot \overline{B_n D_n} \\ -0,25x^2 +0,5x +6 &= 1,5 \cdot 4 \, \, \, | -(1,5\cdot 4) \\ -0,25x^2 + 0,5x + 6 – 1,5 \cdot 4 &= 0 \\ -0,25x^2 + 0,5x &= 0 \\ \Rightarrow &GTR: x = 0 \, \lor \, x = 2 \end{align}

Der Winkel ist immer gleich, da B und D eine Gerade bilden, die parallel zur x-Achse ist. Damit ist der Winkel CBD ein Wechselwinkel zu dem Winkel, den die Gerade mit der x-Achse einschließt. Weil dieser Winkel immer gleich ist – die Gerade ändert sich ja nicht – ändert sich auch der Winkel CBD nicht.

Das gehört nicht mehr zur Aufgabe, aber mit dem Tangens könnte man auch ganz schnell diesen Winkel bestimmen:

\begin{align} tan(\alpha) &= m = -0,5 \\ \alpha &= tan^{-1} (-0,5) = 26,56° \end{align}