2015 Nachtermin A1: Ebene Geometrie

Der Lösungsweg ist erstmal nicht offensichtlich. Aber es ist ein Zwischenergebnis, \( \overline{AC} \), gegeben. Versuche diese Streckenlänge auszurechnen und denke von hier weiter:
Um \( \overline{AC} \) zu berechnen, benötigst du den Winkel CMA:

\begin{align} \angle CMA &= 180° – \angle BMC \\
&= 180° – 58° \\
\Rightarrow \angle CMA = 122° \\
\\
&\overline{AC} \text{ mit dem Cosinussatz:}\\
\overline{AC}^2 &= \overline{AM}^2 + \overline{MC}^2 – 2 \cdot \overline{AM} \cdot \overline{MC} \cdot cos(\angle CMA) \\
\\
&\text{ mit } \overline{AM} = \overline{AB} – \overline{MB} = 2 \\
\\
&= 2^2 + 4^2 – 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot cos(122°) \\
&\Rightarrow \overline{AC} = 5,34 \text{cm}\\
\\
&\angle CMA \text{ mit dem Sinussatz:}\\
\frac{sin(\angle CMA)}{\overline{MC}} &= \frac{sin(\angle CMA)}{\overline{AC}} \\
\frac{sin(\angle BAC)}{4} &=\frac{sin(122°)}{5,34}\,\,\, |\cdot 4\\
sin(\angle BAC) &= \frac{sin(122°)}{5,34} \cdot 4 \\
\Rightarrow &\angle BAC = 39,44° \end{align}

Der Umfang setzt sich aus den Strecken \( \overline{AB}, \, \overline{AC}\) und dem Kreisvon von B zu C zusammen. Den Kreisbogen musst du noch berechnen:

\begin{align} &b \text{ direkt über die Formel:} \\
b &= \frac{\angle MBC}{360°} \cdot 2 \cdot \pi \overline{MC} \\
&= \frac{58°}{360°} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 4 \\
\Rightarrow &b = 4,05 \\
\\
u &= \overline{AB} + \overline{AC} + b \\
&= 6 + 5,34 + 4,05 \\
\Rightarrow &u = 15,39 \text{cm} \end{align}